必ず1になる計算｜前編
1よりも大きな数を入力して、√キーを繰り返し押すと最後は1になります。1よりも大きな数ならばどんな数でもです。
この現象を詳しくみていきます。1よりも大きな数として2とした場合、√を押すと出力は1.41421356237というように1.【小数部分】になります。1234567890の場合、35136.4182864→187.44710797→13.6911324575→3.70015303163→1.92357818443
というように√を5回押すとやはり1.【小数部分】になります。
ルートの計算結果は前後で小さくなりますが、1.【小数部分】となった後は【小数部分】だけが小さくなり整数部分の1はそのままです。なぜなら、整数部分が1どうしの数の積は整数部分が1になるからです。
1.【小数部分】×1.【小数部分】＝1.【小数部分】
つまり、1.【小数部分】に対してルートの計算を何度行っても、小さくはなっていきますが1.【小数部分】は変わりません。はたして、電卓では直前で1.00000000001となり最後に1で終わります。これは12桁表示電卓の場合の計算です。12桁以上の計算結果は四捨五入・切り捨て・切り上げといった処理がされて12桁の出力となります。
1.00000000002→1.00000000001のところの精度を大きくして計算すると、1.00000000002016→1.00000000001008→となっています。√の計算を続けると【小数部分】は小さくなっていきます。【小数部分】はどんどん小さくなるけれど0にはなりません。
これを電卓で計算すると最後に四捨五入・切り捨て・切り上げといった処理がされて【小数部分】は0となり最終出力は1となるというわけです。この現象は数学の「極限」を用いて説明すれば「1よりも大きな数に対して√の計算を無限回行うと極限は1になる」となります。
必ず1になる計算｜後編
この1になる√の計算には続きがあります。たくさん計算してみると気づくことがあります。1よりも小さい【小数部分】に注目してみます。ヒントは【小数部分】の大きさです。
ルール
√の計算をする度に【小数部分】は約2分の1になる。
もちろん1よりも大きい最初の数がどんな数でもそうなります。【小数部分】が128→64→32→16→8→4→2→1とぴったり2分の1になっている場合があります。
私がこのルールに気づいたのは10歳のときでした。謎解きまで6年かかり16歳のときに解決しました。いずれ解説したいと思います。
べき乗xyの計算
前回「0乗はなぜ1？ 後編｜その理由を解説」では、「2の冪」の物語を4つ紹介しました。その中にでてきた2の冪の計算は次のようなものでした。
- 曽呂利新左衛門（そろりしんざえもん）と米粒 2¹⁰⁰
- 将棋盤と小麦 2⁶³
- ドラえもんの道具「バイバイン」とくりまんじゅう 2²⁷
- コピー用紙と月の問題 2⁴³
これらのべき乗の計算は関数電卓の出番です。関数電卓には様々なものがあります。ここではiOSの電卓アプリを取り上げて。さっそく上記4つの2のべき乗を計算してみます。
2⁶³と2¹⁰⁰の計算結果にはe18、e30がついています。これはそれぞれ×10¹⁸、×10³⁰のことを表します。これは科学的表記、指数表示などと呼ばれます。
2¹⁰⁰＝1267650600228229401496703205376
は科学的表記では1.26765060×10³⁰と表す。
e30、×1030の30から2¹⁰⁰は31ケタとわかります。1000=1×10³、21000＝2.1×10⁴といった簡単な例から10の何乗の指数部分に1を足した数がその数のケタ数になるということです。
ちなみに2¹⁰⁰⁰がどうなるか関数電卓でたしかめてみるとiOSの電卓アプリでは「エラー」と表示されます。
【問題】\({\sqrt{2}}\)＝20.5 はどういうことか。
今回取り上げた√とべき乗xyをあわせた問題を最後に出してみます。
\({\sqrt{2}}\)＝1.414213562373095
20.5＝1.414213562373095
したがって、\({\sqrt{2}}\)＝20.5 が成り立ちます。20.5 が\({\sqrt{2}}\)に等しくなるのはどう理解すればいいのでしょうか。次回はその解説からはじめていきます。
