SymPyで漸化式を解く　前編｜Pythonで数学を学ぼう！ 第30回

漸化式の漸は「じわりじわり」の意味

数列間の関係式が漸化式です。漸化式の特徴は再帰的であることです。各項がそれ以前の項の関数として定義されるということです。

初項a₀が与えられるとa₁が得られ、次にa₁からa₂が得られ、a₂からa₃が得られるというように「じわりじわり」数列の項が得られていきます。a₁₀の値を知りたい場合にはa₀からa₉までを求める必要があります。

この様子が「漸」には込められています。会意文字「車＋斤」で、車に斤の刃をくいこまくいこませて切ること、割れ目にくいこむ意味があり、水を表す「氵」で、水がその割れ目にじわりじわりしみこむことを表しています。日本語の漸化式は見事なネーミングです。

一気にa₁₀の値を知るもう一つの方法が一般項を求めることです。第n項a_nをnの式で表すことができれば、nに10を代入すればa₁₀の値が計算できます。

Pythonでは「じわりじわり」解くのが「def文」、一般項を求めるのが「sympy.rsolve」です。前編と後編に分けてみていきます。

漸化式を「じわりじわり」解く「def文」

漸化式をdef文に翻訳するところにコツがあります。2項間漸化式、フィボナッチ数列、トリボナッチ数列の3つの漸化式を例にそのコツを見ていきます。

まず準備として、与えられた漸化式のnのナンバリングを第n項と第n-1項に変換しておきます。

1行目：def文として漸化式左辺のa(n)を定義します。
2行目：初項をifとreturnを使って定義します。
3行目：eles:return 【漸化式右辺】

これが関数の再帰的定義です。関数a(n)の定義の中でその関数自身a(n-1)が登場します。これを再帰的（recursive）といいます。それゆえ漸化式は英語でrecurrence relation（再帰的関係式）と呼ばれます。

第10項まで計算した実行結果は次のようになります。

フィボナッチ数列

有名なフィボナッチ数列は3項間漸化式で表されます。先の例との違いは初項F₁の定義にelifを用いる点です。後は同じです。

第10項まで計算した実行結果は次のようになります。

トリボナッチ数列

4項間漸化式のフィボナッチ数列バージョンがトリボナッチ数列です。3つの初項T₀、T₁、T₂の定義の仕方がこれで理解できます。

第19項まで計算した実行結果は次のようになります。

以上のように初項と漸化式のPythonコーディングはif、elif、elseの使い方のコツさえマスターすれば簡単です。

このプログラムファイル（Jupyter Notebook）は次からダウンロードできます。
https://drive.google.com/file/d/1xwb3jqkgFAPP1xfDwlvcheSfvvuHzrTp/view?usp=share_link