魔方陣｜マス目を使った数学パズル - 空間情報クラブ｜インフォマティクス運営のWebメディア

「清少納言知恵の板」、「裁ち合わせ」と続いてきた江戸時代の正方形パズルシリーズ、今回は魔方陣（まほうじん）です。

魔方陣とは

魔方陣とは魔の四角の形をした陣地という意味です。

〇×〇個の正方形の方陣に数字を置いていき、縦・横・斜めのいずれの列についても、その列の合計が同じ数になることをいいます。

通常「まほう」と聞けば魔法と思われるでしょう。魔法陣と間違えてしまっても無理はありません。

でも法ではなく方です。方とは「四角」を意味する言葉だからです。

魔方陣には以下のようなルールがあります。

最も基本的な縦横3列の魔方陣は、3次の方陣または3方陣とよばれ、縦、横、斜めの和はどれも15です。

3方陣の定和は15であるといいます。

最も古い魔方陣は中国のもので、漢代の『大載礼記（だいさいらいき）』（紀元前1世紀～1世紀）にあるとされている3方陣。

宗の楊輝の『楊輝算法』所収「続古摘奇算法」（1275年）や明の程大位の『算法統宗（さんぽうとうそう）』（1592年）にも10次までの魔方陣が記されています。

6世紀、インドでは4方陣が香料のブレンドのために使われ、10世紀には2から18を使った3方陣（定和30）が安産のための呪術的医療のために使われたといいます。1356年、ナーラヤナは『ガニタ・カウムニディ』で14方陣まで述べています。

10世紀後半、イスラムの神学教科書の中で9方陣まで示されています。アル・ブーニー（1225年没）は『方陣と占星術の学問についての真珠の首飾り』において7惑星と魔方陣を対比させています。

14世紀、魔方陣はビザンチンからヨーロッパに渡りました。ドイツの画家デューラー（1471-1528）は銅版画「メランコリーI」に4方陣を掲げました。

ドイツの修道士シュティフェル（1487-1567）──√記号の本格的使用で知られる数学者でもある──を数学的に研究しました。

デューラーの銅版画「メランコリーI」にある4方陣

拡大したもの

17世紀にはフラン数の数学者フェルマー（1607-1665）、18世紀になるとスイスの数学者オイラー（1707-1783）らが魔方陣の研究を行っています。

日本では、江戸時代に魔方陣の研究が盛んになりました。中国の数学書、朱世傑の『算学啓蒙』と程大位の『算法統宗』の2書が魔方陣研究の発端でした。

関孝和は『方陣円攅之法（ほうじんえんさんのほう）』（1683年）で、魔方陣の一般的解法を日本で初めて展開しました。「方陣」「円攅」（円陣）「格」（方陣のます目）という用語も関孝和によるものです。

関孝和の弟子、建部賢弘（1664-1739）の他、松永良弼（1692?-1744）、久留島善太（1690?-1757）、そして前回の裁ち合わせで紹介した中根彦循の『勘者御伽双紙（かんじゃおとぎそうし）』でも魔方陣は取り上げられています。

魔方陣はルールを変えたバリエーションが多数考案されました。

以下は円陣と呼ばれるもので、吉田光由『新編塵劫記』（1641年）が初出です。

吉田光由『新編塵劫記』の円陣

遺題（解答が見つかっていない読者への挑戦問題）として吉田が載せた円陣の問題の中には、350年後に解決したものもあります。

このように、日本での魔方陣研究は江戸時代の多くの数学者を魅了しました。

パズルとしての入りやすさと、たし算だけの単純なルールにも関わらず、数学の研究にまで深みを持つ面白さがあるからだと思われます。

このように方陣が持つ魅力は魔法のようです。西洋ではMagic Square（魔法の正方形）と呼ばれることに納得です。

魔方陣は魔法の方陣、魔法陣と呼ぶにふさわしいといえるでしょう。