こんにちは、インフォマティクスの空間情報クラブ編集部です。
今回はボロノイ分割（ティーセン分割）についてご紹介します。
参考
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はじめに
今回は地図データの分析について、ボロノイ分割（ティーセン分割）を例にご紹介します。
図1：ラーメン店マップ
分析に使うデータを用意する
ひと口に地図データといっても、表示用の背景データもあれば、分析用の道路ネットワークデータ、図1のようなラーメン店のポイントデータもあります。入手した情報をもとに独自に作成したデータもあるでしょう。
いずれにせよ、地図に表示するデータと分析に使うデータは、それぞれ異なるレイヤに分けて用意するのが一般的です。（図2）
ボロノイ分割とは
ボロノイ分割（ティーセン分割）について、ある施設の情報が格納されているポイントデータを例にご説明します。（図2 右）
ボロノイ分割とは、各ポイント（母点）の勢力圏を分析する手法の1つです。
ある母点までの距離が最短となる点の集合を1つのポリゴンで表したとき、それを「ボロノイ領域」といい、全ての母点のボロノイ領域を算出したものを「ボロノイ図」といいます。（図3 左）
2次元平面におけるボロノイ分割では、各ボロノイポリゴンの境界線は母点間を結ぶ線分の垂直2等分線になります。（図3 右）
図3：その作成方法
重み付きボロノイ分割とは
ボロノイ領域は、同一の母点までの「距離」が最短になる点の集合ですが、通常、各母点が持つ勢力は必ずしも同一ではないので、各母点間を垂直に2等分しても理想的な分析結果といえない場合があります。
そこで「重み付きボロノイ分割」の登場です。
重み付きボロノイ分割は、母点ごとに重みが異なっていると仮定し、その重みで「距離」を加法的・乗法的に補正してボロノイ分割を行う手法です。（図4 左右）
重み付きボロノイ分割の作成方法
加法的重み付きボロノイ分割では、2つの母点に対して、距離に重みを足し合わせた値が等しくなる点を算出し境界線を作成します。
境界線は2つの母点からの距離の差が2点の重みの差と常に等しくなるため、双曲線となります。（図5）
一方、乗法的重み付きボロノイ分割では、2つの母点に対して、距離に重みを掛け合わせた値が等しくなるような点を算出し、境界線を作成します。
この境界線は2つの母点からの距離の比が常に等しくなるため、円の弧となります。（図6）
これらの操作を、各母点からなるドローネ三角形の各辺において行ったとき、各母点から見て最も近接している境界線で構成される領域が「ボロノイ領域」となります。
より理想的な分析結果を得るために
実際にボロノイ分割でデータを分析する際、各母点にどのような重みを設定し、どの方法を採用すればよいでしょうか。
例えば、学区を検討する場合であれば、学校の収容可能人数や学校周辺の児童数などさまざまな条件を組み合わせて重みを設定した上で、重み付きボロノイ分割を使えば、より理想的な結果に近づけることができるでしょう。
指標や計算式を理論的に算定するのは、研究者が論文を書いて説明しなければならないほど難しい問題です。
GISの技術者や利用者が、必要なデータを追加したり指標や計算式をチューニングして試行錯誤し、その過程で分析対象の特徴をつかむことができれば、それが次へのステップにつながります。
少しずつ条件を変えて再帰的に分析を行う。これがGIS特有の分析手法であるといえます。
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