はじめに
1742年の手紙
1742年にプロイセンの数学者クリスティアン・ゴールドバッハ（1690-1764）がレオンハルト・オイラーへあてた手紙の中に
5より大きな任意の自然数は、三つの素数の和で表せる。…（☆）
と書きました。
6=2+2+2 偶数＝偶数の素数＋偶数の素数＋偶数の素数
7=2+2+3 奇数＝偶数の素数＋偶数の素数＋奇数の素数
8=2+3+3 偶数＝偶数の素数＋奇数の素数＋奇数の素数
9=3+3+3 奇数＝奇数の素数＋奇数の素数＋奇数の素数
10=2+3+5 偶数＝偶数の素数＋奇数の素数＋奇数の素数
このように、偶数を3つの素数で表す場合にはその1つが2であることがわかります。
したがって、
6=2+2+2 → 4=2+2
8=2+3+3 → 6=3+3
10=2+3+5 → 8=3+5
（☆）は
4以上の任意の偶数は、2つの素数の和で表せる。
または
6以上の任意の偶数は、2つの奇素数の和で表せる。…（★）
と言い換えることができます。ただし、同じ素数を2度使ってもよいとします。
前回のコラッツ予想同様にゴールドバッハ予想も正しいと考えられていますが、未解決の問題です。
Pythonで検証プログラムを作り挑戦してみましょう。
ゴールドバッハ予想を検証するプログラム フロチャート
そこで（★）を検証するプログラムをPythonでコーディングしてみます。
以下のようなブロックになります。
[1] 検証する偶数の範囲を決める m以上n以下
[2] 3以上max以下の奇素数リストを生成
[3] 偶数even = 奇素数odd_prime + 奇素数even - odd_prime を調べる
[2]において、奇素数リストodd_prime=[3,5,7,11,…]を生成します。
最も単純なアルゴリズムによる「goldbach1.py」「goldbach2.py」と、連載（素数生成プログラム（エラトステネスの篩）を実装｜Pythonで数学を学ぼう！第7回）で紹介した、より高速なエラトステネスの篩による「goldbach3.py」の2通りとして速度（計算時間）を比較できるようにしました。
[3]において、偶数＝奇素数＋奇素数となる2つの奇素数を見つけだします。
コーディングのポイントは以下です。
>>> if even - odd_prime[i] in odd_prime:
最初に選んだ偶数evenと次に奇素数リストodd_prime[]から選んだ奇素数odd_prime[i]に対して、差even - odd_prime[i] が奇素数リストodd_prime[]に含まれているか否かを判定します。
含まれていれば（★）を満たす2つの奇素数が見つかったことになります。含まれていなければ見つかるまで探します。
ゴールドバッハ予想検証プログラム「goldbach1.py」
[3]において（★）を満たす2つの奇素数の組をすべて見つけだし表示します。
>>> #[1]検証する偶数の範囲を決める m以上n以下
>>> min = int(input('ゴールドバッハ予想（6以上の偶数=2つの奇素数の和）をmin(≧6)からmaxの範囲の偶数で調べます。\nmin >> '))
>>> if min % 2 == 0:
>>> min = min
>>> else:
>>> min = min + 1
>>>
>>> max = int(input('max >> '))
>>>
>>> #[2] 3以上max以下の奇素数リストを生成
>>> odd_prime = []
>>> for i in range (3,max+1,2):
>>> for j in range(3, i):
>>> if i % j ==0:
>>> break
>>> else:
>>> odd_prime.append(i)
>>> print('奇素数リスト\n', odd_prime)
>>>
>>>
>>> #[3]偶数even = 奇素数odd_prime + 奇素数even - odd_prime を調べる
>>> # すべての組合せを表示
>>> for even in range(min, max+1 , 2):
>>> print(even, end=' ')
>>> i = 0
>>> while i <= len(odd_prime) - 1:
>>> if even - odd_prime[i] in odd_prime:
>>> print('=', odd_prime[i], '+', even - odd_prime[i], end=' ')
i += 1
>>> print()
コードファイルのダウンロードはコチラ（https://drive.google.com/file/d/1I8bxuV6MfHSBzoJNRW2c1gTX1RUn_jh3/view?usp=sharing）から
次は6以上30以下の偶数についての結果です。
ゴールドバッハ予想検証プログラム「goldbach2.py」
素数生成アルゴリズムはgoldbach1.pyと同じものを使用します。
goldbach1.pyでは大きい偶数evenに対しては組合せも多く見つかるので、大きな偶数に対しては時間がかかりすぎます。
そこで、最初の1組の奇素数が見つかればOKとして、大きい偶数に対しても確認がスムーズにできるようにします。ついでに計算時間を計測してgoldbach3.pyと比較してみます。
>>> import datetime as dt
>>>
>>> #[1]検証する偶数の範囲を決める m以上n以下
min = int(input('ゴールドバッハ予想（6以上の偶数=2つの奇素数の和）をmin(≧6)からmaxの範囲の偶数で調べます。\nmin >> '))
>>> if min % 2 == 0:
>>> min = min
>>> else:
>>> min = min + 1
>>>
>>> max = int(input('max >> '))
>>> time = dt.datetime
>>> start = time.now() # 計算開始時刻マーク
>>>
>>> #[2] 3以上max以下の奇素数リストを生成
>>> odd_prime = []
>>> for i in range (3, max+1, 2):
>>> for j in range(3, i):
>>> if i % j ==0:
>>> break
>>> else:
>>> odd_prime.append(i)
>>> print('奇素数リスト\n', odd_prime)
>>>
>>>
>>> #[3]偶数even = 奇素数odd_prime + 奇素数even - odd_prime を調べる
>>> # 1組だけを表示
>>> for even in range(min, max + 1, 2):
>>> i = 0
>>> while i <= len(odd_prime) - 1:
>>> if even - odd_prime[i] in odd_prime:
>>> print(even, end=' ')
>>> print('=', odd_prime[i], '+', even - odd_prime[i], end=' ')
>>> i += 1
>>> break
>>> else:
>>> i += 1
>>> continue
>>> else:
>>> print(even, ' = NG') # 予想の反例
>>> print()
>>>
>>>
>>> stop = time.now() # 計算終了時刻マーク
>>> t = stop - start
>>> print('計算時間',t)
コードファイルのダウンロードはコチラ（https://drive.google.com/file/d/1sBVb-9EF2zLF91PIHepbo_f5CSoEpNlA/view?usp=sharing）から
以下は1000以上1030以下の偶数についての結果です。
ゴールドバッハ予想検証プログラム「goldbach3.py」
goldbach2.pyの[2]をエラトステネスのふるいに変えたプログラムです。
>>> import math
>>> import datetime as dt
>>>
>>>
>>> #[1]検証する偶数の範囲を決める m以上n以下
>>> min = int(input('ゴールドバッハ予想（6以上の偶数=2つの奇素数の和）をmin(≧6)からmaxの範囲の偶数で調べます。\nmin >> '))
>>> if min % 2 == 0:
>>> min = min
>>> else:
>>> min = min + 1
>>>
>>> max = int(input('max >> '))
>>>
>>> time = dt.datetime
>>> start = time.now() # 計算開始時刻マーク
>>>
>>> #[2] 3以上max以下の奇素数リストを生成 エラトステネスのふるい高速
>>> p = [i for i in range(max + 1)]
>>>
>>> for i in p[3:]:
>>> if p[i] % 2 == 0:
>>> p[i] = 0
>>>
>>> sqrt_max = math.sqrt(max) # √max の計算
>>> for i in range(3, max):
>>> if i > sqrt_max:
>>> break
>>> if p[i] != 0:
>>> for j in range(i, max + 1, 2):
>>> if i * j >= max + 1 :
>>> break
>>> p[i * j] = 0
>>> odd_prime = sorted(list(set(p)))[2:]
>>> print('奇素数リスト\n', odd_prime)
>>>
>>>
>>> #[3]偶数even = 奇素数odd_prime + 奇素数even - odd_prime を調べる
>>> # 1組だけを表示
>>> for even in range(min, max + 1 , 2):
>>> i = 0
>>> while i <= len(odd_prime) - 1:
>>> if even - odd_prime[i] in odd_prime:
>>> print(even, end=' ')
>>> print('=', odd_prime[i], '+', even - odd_prime[i], end=' ')
>>> i += 1
>>> break
>>> else:
>>> i += 1
>>> continue
>>> else:
>>> print(num, ' = NG') # 予想の反例
>>> print()
>>>
>>> stop = time.now() # 計算終了時刻マーク
>>> t = stop - start
>>> print('計算時間',t)
コードファイルのダウンロードはコチラ（https://drive.google.com/file/d/1B5Iol8hs3V7x67PLh7R2YuwsoUnhnCAC/view?usp=sharing）から
次は1000以上1030以下の偶数についての結果です。
6以上100万以下についての検証結果
maxが10万オーダーであれば計算時間1分ほどです。そこでmaxを100万（10の6乗）としてgoldbach2.pyとgoldbach3.pyを走らせてみました。
goldbach2.py 計算時間 1:05:27.289655
goldbach3.py 計算時間 0:50:40.932465
1時間ほどかかりました。この差は[2]の素数リスト生成の差です。
コンピューターによるゴールドバッハ予想の検証は、2012年に4×10の18乗までという記録があります。