マイ関数電卓コレクション#1(小6、1979年) SHARP EL-514
(筆者私物)
指数=回数
前回「関数電卓で2¹⁰⁰を計算してみよう」では、関数電卓を使いながら、出力1.2676506×10³⁰は科学的表記法と呼ばれることや関数電卓の計算の限界について取り上げました。
今回も引き続き関数電卓のべき乗計算です。2¹⁰⁰のようにべき乗の指数が自然数の場合は、「指数=回数」です。連載「なぜ0乗は1なのか?その理由を解説《後編》」でも解説したように、1に対して底を何回かけ算したかその回数が指数です。
20.5を関数電卓で計算してみると…
それでは20.5のような指数が小数の場合のべき乗はどのように考えればよいのでしょうか。関数電卓とともにみていきます。通常、回数は自然数です。回数が0.5回とは理解に苦しみます。
わかりやすい例として20.5を関数電卓で計算してみましょう。はたして1.4142135623が返ってきます。これは√2の値のようです。底を変えてみます。30.5は1.7320508075で√3。40.5は2で√4。そして、50.5は2.2360679774で√5。正の数をxとおけば、 x0.5=√x が成りたちます。なぜこうなるのか、それが今回の主題です。
指数法則の出番
べき乗を考える際に「指数=回数」の考え方を一旦脇に置いて違う視点を導入します。それは指数法則です。
問題1 2³×2²
問題2 2³の2乗
問題3 2²の4乗
次のように計算できます。
問題1 2³×2²=(2×2×2)×(2×2)= 2⁵=32
問題2 (2³)²=2³×2³=(2×2×2)×(2×2×2)=2⁶=64
問題3 (2²)⁴=2²×2²×2²×2²=(2×2)×(2×2)×(2×2)×(2×2)=2⁸=256
すると、この計算の中から
問題1 2³×2²=23+2
問題2 (2³)²=2³×²
問題3 (2²)⁴=2²×⁴
という指数の関係がみえてきます。これが指数法則の“はじまり”です。xとyの範囲が自然数であることが“はじまり”で、0、負の整数、有理数、無理数すなわち実数まで拡張することが証明されます。実は複素数まで拡張できます。
20.5=√2の謎解き
これで、20.5=√2の謎解きの準備ができました。20.5の2乗を考えます。指数法則(2)においてa=2、x=0.5、y=2とすると次が成り立ちます。
(20.5)²=20.5×2=2¹=2
20.5という数は、2乗したら2になる数です。ところで2乗したら2になる数とは√2=1.41421356…に他なりません。つまり、20.5=√2 です。
問題を考えてみる
せっかく関数電卓でべき乗の計算をしてみたので、何か興味ある問題に使ってみたいものです。筆者が思いつくのは次の2題です。
(カンタンな問題)平均律の周波数を計算してグランドピアノ88鍵の周波数をチェックしてみる
(ムズカシイ問題)いったい関数電卓では20.5をいかにして計算しているのか。そのアルゴリズムとは?
冒頭の写真はいまだ現役で使っている関数電卓SHARP EL-514です。小学6年生のときにはじめて買ったものです。当時、これで遊んだことを44年経った今でも鮮明に覚えています。(ムズカシイ問題)はその時の筆者の疑問です。紆余曲折を経て本当の答えにたどり着くには30年かかりました。
次回は(カンタンな問題)の謎解きです。