人と星とともにある数学 第39回

算聖関孝和の数学

世界に先駆けて発見された「関・ベルヌーイ数」と「関の公式」

関孝和の業績

関孝和が算聖と讃えられるのはその業績の質と量ゆえです。

傍書法(代数式の表し方とその計算法)、ホーナー法(多変数高次方程式の解法)、方程式の判別式、ニュートン法、零約術(近似分数)、不定方程式の解法、招差法(階差を用いた未定係数決定法)、正多角形に関する関係式、円理(円周率の計算)、ニュートンの補間法、球の体積、ハップス・ギュルダンの定理、円錐曲線論、方陣の一般論、授時暦の研究、…。

これら関孝和の数学の全貌を紹介することは困難を極めます。それでもなお関孝和の偉大さを伝えるために、業績の一端を紹介してみようと思います。ここでは、世界に先駆けた関孝和の発見を2つ取り上げます。

関の公式その1 関・ベルヌーイ数

自然数のべき乗をたし合わせる公式は総和公式と呼ばれます。高校数学の教科書に登場するのは次のようなΣを用いた公式で、数列の部分がk の1乗、2乗、3乗である場合です。


高校数学で習う総和公式

すると、k の4乗、5乗、…と考えて、一般にp乗の場合の公式を考えることができます。

総和公式の一般化に初めて成功した数学者こそ、われらが関孝和(1640?-1708)とスイスが生んだ世界的数学者ヤコブ・ベルヌーイ(1654-1705)です。


関孝和(1640?~1708) ヤコブ・ベルヌーイ(1654~1705)

驚くべきことが2つあります。二人が同時期に研究を行っていること、そしてその研究の中身も同じであることです。

二人とも法則を見つけるために、k の10乗までの場合について総和公式を計算しています。

結果は『括用算法(かつようさんぽう)』(1712年)と『Ars Conjectandi(推測術)』(1713年)の中で発表されました。次は両者が10乗までの場合の総和公式を計算している該当部分です。

10乗までの場合の総和公式

10乗までの公式をつくることで、一般にp乗の場合の公式を求めることができたことになります。

10乗の計算の先に二人が到達したのはある特別な数でした。それが、Bnと表されるベルヌーイ数と呼ばれる数です。ベルヌーイ数を用いたp乗の場合の総和公式はベルヌーイの公式と呼ばれています。

ここで重要な指摘が必要になります。二人の著作の刊行年に注目してください。関孝和の発表はベルヌーイの1年前です。

したがって、ベルヌーイ数Bn(BernoulliのB)と呼ばれる数は関数Sn(せきすう)と呼ばれるべきです。1年違いであることとベルヌーイ数と呼ばれてきたことを考慮して、関・ベルヌーイ数と呼ぶのが適当です。

物を積み重ねたとき、その個数の総数を求めることを朶術といいます。朶(だ)とは、かたまりになっているものを数えるという意味です。関孝和は関・ベルヌーイ数を一級取数、二級取数、…、総和公式を朶積術(だせきじゅつ)と呼んでいます。

関・ベルヌーイ数と関・ベルヌーイの公式の結論を眺めてみます。関・ベルヌーイ数は、漸化式(数列間の関係式)から計算されます。関孝和とベルヌーイは関・ベルヌーイ数のもとになる漸化式を発見したということです。

次は関・ベルヌーイの公式と総和公式の導出の様子です。

関の公式その2 行列式

関の没後、弟子である山路主住(1704-1772)によって関流という一大流派が組織されました。

関流の数学では、関孝和の著作のうち『解見題之法(かいけんだいのほう)』『解隠題之法(かいいんだいのほう)』『解伏題之法(かいふくだいのほう)』が三部抄と呼ばれとりわけ重要視されました。

関流で数学を学ぶ者はこれらの本をマスターすると「見題免許」「隠題免許」「伏題免許」という免許状が授けられました。

「見題」とは四則(加減乗除)だけで解ける問題。「隠題」は1変数方程式を用いて解ける問題。「伏題」とは2変数以上の連立方程式が必要になる問題を意味します。中でも1683年、関孝和41歳のころの『解伏題之法(かいふくだいのほう)』が重要です。

第1章真虚 天元術を拡張した傍書法では複数の未知数の方程式を表現できます。本来求めるべき未知数の解法を真術といい、それ以外の補助的未知数の解法を虚術といいます。

第2章両式附略省約縮 本来求めるべき未知数と補助的未知数を含む2つの方程式の導出法。

略とは方程式の次数を下げること。省とは方程式の係数に含まれる共通変数を約すこと。約とは係数を約すこと。縮とは奇数次の項がすべて0の場合、未知数の2乗をあらためて1つの未知数に置いて次数を半分に下げること。

第3章定乗附畳括 定乗は2つの方程式から未知数を消去した場合にできる方程式の次数の計算法。

ここに登場するのが終結式です。終結式とは次のように2つの多項式から定義されます。

附録にある畳とは、2式に適当な式を乗じて引くことである項を消去すること。括とは、同じ未知数の同じ次数の項を求めることをいいます。

第4章換式 2つの方程式から換式とよばれる式を得る方法。

第5章正尅附交式斜乗法 換式から未知数を消去する方法。関孝和はここで一挙に未知数を消去することに成功します。世界初の行列式の導入です。n=2、3、4、5の場合について行列式を計算する方法が述べられてあります。それが附録にある交式斜乗法です。

n=3の場合の換三式は、現在では「サラスの公式」として知られているものです。

行列の主対角線に平行な成分の積には+の符号、反対角線に平行な成分の積には−の符号をつけてたし合わせます。関孝和はこの2つをそれぞれ正、尅と区別しました。

ところで「サラスの公式」はサラス(1798-1861)によって1846年に発表されています。『解伏題之法(かいふくだいのほう)』は1683年ですからサラスの163年も前の発表です。

もはや「関・サラスの公式」ではなく「関の公式」と呼ばれるべきです。


関の公式(行列式)

残念なことに、関は最後にミスを犯してしまいます。n=5以上でも交式斜乗法が成り立つと主張した点です。

このことが明らかにされたのは100年以上を経て、菅野元健の『補遺解伏題生尅篇』(1798年)や石黒信由(1760-1837)の『交式斜乗逐索』(1798年)によってでした。

現代に生きる関の数学

これら2つの関の公式は現代に脈々と生きています。高校数学の教科書に登場するΣの公式や関・ベルヌーイ数Bnは、これから先もけっして色褪せることなく数学の基本として教科書に書かれていきます。

行列式の理論も、現代のコンピューターの中で連立方程式の解法アルゴリズムの中に生きています。

最後に関・ベルヌーイ数について

2007年の拙書『天才たちが愛した美しい数式』(PHP研究所)の中で初めて指摘しました。時を経て、2018年、拙書『夢中になる!江戸の数学』(桜井進著、集英社文庫、2012)がJAPAN LIBRARY 2018に選定され英訳されました。

JAPAN LIBRARY「日本の魅力発信に資する書籍の翻訳出版事業」
平成26年度から、首相官邸・内閣府国際広報事業の一環として、日本の優れた書籍を民間の有識者により選定し、英訳出版する事業

Wasan, the Fascination of Traditional Japanese Mathematics
Sakurai Susumu (著), Emma Ford (翻訳), Gaynor Sekimori (翻訳)
出版社: 出版文化産業振興財団

Wasan, the Fascination of Traditional Japanese Mathematics

この本は日本を外国に紹介するため世界中の図書館に置かれています。関・ベルヌーイ数と関・ベルヌーイの公式は「Seki- Bernoulli Number」「Seki- Bernoulli’s Formula」と呼ぶべきであるという私の主張をしっかりと盛り込みました。

さらに、桜井進デザインSeki- Bernoulli’s Formula TシャツがユニクロのTシャツサイトUTme!にて好評発売中です。


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執筆者ご紹介  桜井進(さくらいすすむ)様
1968年山形県生まれ。
サイエンスナビゲーター®。株式会社sakurAi Science Factory 代表取締役CEO。
(略歴)
東京工業大学理学部数学科卒、同大学大学院院社会理工学研究科博士課程中退。 東京理科大学大学院非常勤講師。
理数教育研究所Rimse「算数・数学の自由研究」中央審査委員。 高校数学教科書「数学活用」(啓林館)著者。
公益財団法人 中央教育研究所 理事。
国土地理院研究評価委員会委員。
2000年にサイエンスナビゲーターを名乗り、数学の驚きと感動を伝える講演活動をスタート。東京工業大学世界文明センターフェローを経て現在に至る。 子どもから大人までを対象とした講演会は年間70回以上。
全国で反響を呼び、テレビ・新聞・雑誌など様々なメディアに出演。
著書に『感動する!数学』『わくわく数の世界の大冒険』『面白くて眠れなくなる数学』など50冊以上。
サイエンスナビゲーターは株式会社sakurAi Science Factoryの登録商標です。

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