カーネル密度推定とは？ 密度計算の方法とカーネル関数の種類を紹介

こんにちは、インフォマティクスの空間情報クラブ編集部です。

本記事では、データ分析に活用されるカーネル密度推定について、密度計算方法や密度推定例、カーネル関数の種類などをわかりやすくご紹介します。

カーネル密度推定とは

カーネル密度推定は、限られた標本点から全体の分布を推定する手法の1つです。

密度を推定する際には、パラメトリックモデル（例：正規分布（ガウス分布）、指数分布、ガンマ分布）を用いる手法が一般的です。

しかし、分布をパラメトリックモデルで表現できない場合には、ノンパラメトリック推定が適用されます。カーネル密度推定は、代表的なノンパラメトリック手法です。

カーネル密度推定はノンパラメトリック手法であるため、確率分布を事前に仮定せず、観測されたデータに基づいて密度関数を推定することが可能です。

カーネル密度推定の例

犯罪データを使った密度推定

例えば、犯罪発生地点を示すポイントデータがあるとします。

このデータをサンプルとして、犯罪発生がない場所の発生率を推定したい場合にカーネル密度推定を利用します。

下図は、7つの地点を基にカーネル密度推定を行った例です。左側の図では、2次元の地図上にポイントが配置されています。

右側では、そのポイントデータを元にカーネル密度推定を行い、結果を3次元で表現しています。密度が高いエリアでは、確率が高いと推定されることがわかります。

右側の図を見ると、互いに近いポイントどうしでは、推定結果がつながり、値の高さが強調されていますが、離れた地点のポイントは、ほとんど他の点に影響を与えていないことが確認できます。

このようにカーネル密度推定を3次元で視覚的に表現することで、推定結果がより直感的に理解しやすくなります。

 カーネル密度の計算方法｜必要なパラメータと計算手順

カーネル密度を計算する場合は、以下のパラメータを定義する必要があります。

• カーネル関数：各標本点の影響度の広がり方を定義
  カーネル関数とは、データ点周辺の密度を評価する際の重みづけ関数のことです。これにより、データがどの程度影響を与えるかが決まります。
• バンド幅：カーネル関数の広がりの幅を定義
  バンド幅の定義は非常に重要です。過度に小さなバンド幅はノイズを強調し、大きすぎるバンド幅は情報をぼかしてしまいます。

カーネル関数の種類と特徴

カーネル密度推定に使用するカーネル関数には「正規分布（ガウス分布）」をはじめ、さまざまな種類があります。

• 正規分布（ガウス分布）：左右対称な曲線で分布を表現（下図上）
• 均等化：ヒストグラムで値を表現（下図中）
• 三角化：直線でグラフを表現（下図下）

バンド幅｜影響範囲の設定方法

バンド幅とは、各標本が影響を及ぼす範囲を設定するパラメータです。

バンド幅が小さすぎると、結果が不自然な形になりますが、大きすぎると過度に滑らかな結果となり、詳細な分析ができなくなります。

以下は、バンド幅が小さすぎた場合の例です。

カーネル密度計算の例｜正規分布を使った密度推定

カーネル密度の計算方法として「正規分布」関数を使った例をご紹介します。

下図は、緑のグラフが各標本に正規分布を適用したカーネル関数を示しています。

使用する関数とバンド幅を設定した後、各標本点の密度分布を計算し、最終的にその値を足し合わせることでカーネル密度推定を行います。赤いグラフは、カーネル密度推定の結果を示しています。

おわりに

カーネル密度推定では、分析対象の特性に合わせて適切なカーネル関数やバンド幅を選ぶことが重要です。

GISソフト「SIS」には、あらかじめ多くのカーネル関数が用意されており、目的に応じて最適な関数を選ぶことができます。

カーネル密度推定を用いて色分けや3次元表示などさまざまな視覚化を行うことで、予想外の有益な知見を得られる可能性があります。

GISソフトをお探しなら

GISソフトをお探しの方、現在お使いのGISに課題を感じている方は、GIS（地理情報システム）製品SISのご利用を検討されてみてはいかがでしょうか。無償版もご用意しています。
SISの資料をダウンロードする ＞＞

無償版SISを試してみる ＞＞